3.3 3.4 随机变量的独立性

1. 定义

设 $(X,Y)$ 为二维随机变量，若对任何实数 $x,y$ 都有

$$P(X\leqslant x, Y\leqslant y)=P(X\leqslant x)P(Y\leqslant y)$$

则称随机变量 $X$ 和 $Y$ 相互独立。

随机变量 $X$ 和 $Y$ 相互独立 $\iff$ $F(x,y)=F_X(x)F_Y(y)$

2. 分类

2.1 离散型

2.2 连续型

• 结论：$(X,Y)\sim N(\mu_1,\sigma_1;\mu_2,\sigma_2;\rho)$，$X$ 与 $Y$ 相互独立 $\iff$ $\rho =0$

3. 独立性定理

设 $f(x,y)$ 是 $(X,Y)$ 的联合概率密度函数，则 $X$ 与 $Y$ 相互独立的充分必要条件是存在非负可积函数 $r(x),g(y)$，使得

$$f(x,y)=r(x)g(y)$$

在一切连续点上成立。

这时

$$\begin{aligned} f_X(x)=\frac{r(x)}{\int^{+\infty}_{-\infty}r(x)dx} \\ f_Y(y)=\frac{g(y)}{\int^{+\infty}_{-\infty}g(y)dy} \end{aligned}$$

多维随机变量可类推。